СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Число е. Экспонента


Число е. Экспонента


В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равносильно ее дифференцируемости в x0. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения.

графики функций, экспонента


Нарисуем несколько графиков функции у = аx для а, равного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 1), и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35, 40, 48 и 51° соответственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касательной к графику функции у=аx в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35° до tg 51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствующей касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства):

Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = еx в точке 0 имеет производную, равную 1, т. е.

сумма площадей при Δx →0. (1)


Замечание. Доказано, что число е иррационально и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки таковы: е = 2,718281828459045... .

Функцию еx часто называют экспонентой.
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров