|
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
|
|
|
Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии.
Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по
гармоническому закону:
При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
 (1)
С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как
Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение
 (2)
При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя
соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
 (3)
Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как
Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11),
придем к дифференциальному уравнению
 (4)
Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически
изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными
электромагнитными колебаниями.
Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
 (5)
причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0
если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний - Um/L).
Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего
решения (5) однородного уравнения (1) и частного
решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую
часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt :
 (6)
Частное решение данного уравнения будем искать в виде
Подставляя выражение для s и его производных (  и
 )
в выражение (6), найдем
 (7)
Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно
исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим
ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω)
Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:
где
 (8)
 (9)
Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид
Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна
 (10)
где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно
 (11)
Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения
 (12)
и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной
стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет
значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1.
Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются
гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .
Рис.1
Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω02 = 1/(LC)
и δ = R/(2L) :
 (13)
Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
 (14)
где
 (15)
Уравнение (14) может быть записано как
где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии
с уравнением (13)
 (16)
Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает
напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).
Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для
переменных токов.
|
|
|
|
|
|
