СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение


Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:

периодический внешний фактор

При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

внешняя вынуждающая периодическая сила (1)

С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника

Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника (2)

При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

внешнее вынуждающее периодическое напряжение (3)

Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний колебательного контура

Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний колебательного контура (4)

Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний колебательной системы (5)

причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний - Um/L).

Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt :

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний колебательной системы (6)

Частное решение данного уравнения будем искать в виде

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы

Подставляя выражение для s и его производных ( первая производная решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы и вторая производная решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы ) в выражение (6), найдем

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний колебательной системы (7)

Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω)

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы

Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы

где

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы (8)

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы (9)

Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы

Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы (10)

где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы (11)

Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательной системы (12)

и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω .

вынужденные колебания графическое представление

Рис.1


Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω02 = 1/(LC) и δ = R/(2L) :

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательного контура (13)

решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний колебательного контура

Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

установившаяся сила тока вынужденных колебаний колебательного контура (14)

где

установившаяся сила тока вынужденных колебаний колебательного контура (15)

Уравнение (14) может быть записано как

установившаяся сила тока вынужденных колебаний колебательного контура

где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)

фаза силы тока вынужденных колебаний колебательного контура (16)

Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).

Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.

Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров