СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Наибольшее и наименьшее значение функции.


Наибольшее и наименьшее значение функции.


Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке [а; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; b] в которыхf принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.

Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [а; Ь] но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.

Наибольшее и наименьшее значение функции


Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда (Критические точки функции) она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому (см. Примеры применения производной к исследованию функций) наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и b.

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (х);
2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:

1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);
2) решение полученной математической задачи и
3) интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

С этим общим методом (его называют методом математического моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры.
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров