справочник телефонов города новосибирска как найти номер телефона человека из германии база данных телефонов ленинградской области тут найти человека по номеру телефона ярославль поиск человека по фамилии и справочник телефонов узнать как найти адрес человека по фамилии и имени справочник для мобильных телефонов база данных мобильных телефонов мурманска телефонная база санкт петербурга torrent поиск людей по сотовому телефонная база городов справочник телефонов светлогорска телефонная база чита ссылка справочник телефонов найти найти человека по бывшей фамилии ссылка как по номеру мобильного телефона найти владельца ссылка справочник телефонов приморского края телефонный справочник 2015 год москва телефонный поиск владельцев по номеру мобильного телефона тут телефонная база мобильных операторов украины узнать адрес частного лица по номеру телефона Блог Уфича
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Общая формула для объемов тел вращения


Общая формула для объемов тел вращения


Тело вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными оси вращения, пересекаются по кругам с центрами на этой прямой.

Тело вращения

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовы координаты x, y, приняв ось тела за ось x. Плоскость xy пересекает поверхность тела по линии, для которой ось x является осью симметрии. Пусть y = f(x) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью x.
Проведем через точку (x,0) плоскость, перпендикулярную оси x, и обозначим через V(x) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости; V(x) является функцией от x. Разность V(x+h) – V(x) представляет собой объем слоя тела толщиной h, заключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси x и проходят через точки с абсциссами x и x+h. Пусть M – наибольшее, а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [x,x+h]. Тогда рассматриваемый слой тела содержит цилиндр с радиусом m и высотой h и содержится в цилиндре с радиусом M и той же высотой h.
Поэтому

формула

При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине πf^2(x). Средняя же часть этого неравенства при стремлении h к 0 стремится к производной V`(x) функции V(x). Значит,

формула

По формуле анализа

формула

Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскости x=a и x=b.
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум