СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Производная логарифмической функции.


Производная логарифмической функции.


Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций y=logax и у = аx симметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения.

Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле

производная логарифмической функции(1)


По основному логарифмическому тождеству х = еln х при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R+). Поэтому производные х и еln x равны, т. е.

x' = (eln x)' (2)


Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1 : (еln x)'= еln х ln' x=x ln' x. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим l = х ln' х, откуда производная логарифмической функции.

Формула (1) показывает, что для функции функция 1 на x на промежутке(0; ∞) любая первообразная может быть записана в виде ln x + С.

Функция функция 1 на x имеет первообразную и на промежутке (—∞; 0), это функция ln( —x). Действительно,производная логарифмической функцииТак как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функции функция 1 на x является функция ln |x| .
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров