СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Степень с рациональным показателем.


Степень с рациональным показателем.


Выражение аn определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

am*an=am+n;
amn=am-n (а≠0);
m)n = аmn;
(ab) n = an*bn;
свойтство степеней(b≠0);
а1=а; а0=1 (а≠0).


Отметим также следующее свойство:

Если m>n, то аmn при а>1 и аmn при 0<а<1.

В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20.3, 85/7, 4-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа a в степени m на n должна быть равна аm. Действительно, если свойство

(ap)q=apq


выполняется, то

равенство


Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число a в степени m на n должно быть корнем п-й степени из числа аm.

Определение.

Степенью числа а>0 с рациональным показателем r=m на n, где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число корень n-ой степени из a в степени m

Итак, по определению

по определению (1)


Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0r = 0 для любого r>0.

Замечание 1.

Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.

Замечание 2.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку по определению для любого натурального k. Значение ar также не зависит от формы записи рационального числа r. В самом деле, из свойств корней следует, что

степень с рациональным показателем


Замечание 3.

При а < 0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для а<0, то, например, значение пример равнялось бы пример, т. е. — 2. Но, с другой стороны, пример, и поэтому должно выполняться равенство пример.
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров