справочник телефонов города новосибирска как найти номер телефона человека из германии база данных телефонов ленинградской области тут найти человека по номеру телефона ярославль поиск человека по фамилии и справочник телефонов узнать как найти адрес человека по фамилии и имени справочник для мобильных телефонов база данных мобильных телефонов мурманска телефонная база санкт петербурга torrent поиск людей по сотовому телефонная база городов справочник телефонов светлогорска телефонная база чита ссылка справочник телефонов найти найти человека по бывшей фамилии ссылка как по номеру мобильного телефона найти владельца ссылка справочник телефонов приморского края телефонный справочник 2015 год москва телефонный поиск владельцев по номеру мобильного телефона тут телефонная база мобильных операторов украины узнать адрес частного лица по номеру телефона Блог Уфича
СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Теория по алгебре >> Основные правила дифференцирования. Произведение.


Основные правила дифференцирования. Произведение.


      Если функции и и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)' = u'v+uv'.


      1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х0+Δx)v(х0+Δx)-u(х0)v(х0)=(u(х0)+ Δu)(v(х0)+ Δv)-u(х0)v(х0) =
=u(х0)v(х0)+ Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv-u(х0)v(х0)= Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv


      2)
дифференцирование произведения 1


      3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х0 при Δx→0 имеем

дифференцирование произведения 2


      Поэтому

дифференцирование произведения 3


т. е. (uv)' = u'v+uv', что и требовалось доказать.

      Следствие. Если функция u дифференцируема в х0, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)' = Сu'.


      Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

      Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С' = 0:

(Сu)' = Сu' + С'u = Cu' + 0⋅u = Cu'.