СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Школьная математика
Высшая математика
Математика ЕГЭ
Физика
Репетиторы
Теория по алгебре >> Производные тригонометрических функций. Формула производной синуса.


Производные тригонометрических функций. Формула производной синуса.


Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке u

(sin x)’ = cos x.


Применяя формулу

разность синусов


находим

приращение синуса


Для вывода формулы достаточно показать, что:

формулы для доказательства синуса


при Δx→0.

Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1). Действительно, при Δx→0

приращение синуса


Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл.

пояснительный рисунок


а) Отложим на единичной окружности от точки Р0 в обе стороны дуги Р0А и Р0В длиной |Δx|/2 (рис. сверху) Тогда длина дуги АВ равна |Δx|, а длина хорды AВ равна 2|sin (Δx/2)|. При малых |Δx| длина хорды АВ практически не отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Действительно, при больших n верно, как известно, приближенное равенство Рn≈С, где Рn — периметр правильного вписанного n-угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно,

отноение длин строн


б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е.

длина хорды АВ меньше длины дуги АВ


Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим неравенством, находим:

формула


Но |Δx|/2→0 при Δx→0. Поэтому

формула для косинуса


при Δx→0.
Теория вероятностей, математическая статистика | Математический форум| Для вебмастеров